Em 1761, o matemático Johann Lambert forneceu uma demonstração crucial sobre a natureza do número π, mostrando que ele é, de fato, um número irracional. Lambert começou sua prova exibindo uma expansão em frações contínuas que envolve π. A expressão é a seguinte:
[ \pi = 4 \cdot \left(1 – \frac{1}{3} + \frac{1}{5} – \frac{1}{7} + \frac{1}{9} – \ldots \right) ]
Este é um exemplo de uma fração contínua, uma forma única de expressar um número como uma sequência infinita de frações parciais.
O próximo passo crucial de Lambert em sua demonstração foi mostrar que se x é um número racional diferente de zero, então a expressão acima deve ser um número irracional. Uma vez que a tangente de π/4 é igual a 1, é possível deduzir que π/4 é um número irracional. E dado que π/4 é irracional, isso implica diretamente que π, o qual é quatro vezes π/4, também é um número irracional.
Portanto, através da manipulação de frações contínuas e propriedades trigonométricas, Johann Lambert estabeleceu de forma brilhante que π é um número irracional, um resultado fundamental na matemática que continua a ser estudado e admirado até os dias de hoje.
(Resposta: Johann Lambert provou que π é um número irracional ao mostrar que π/4 é irracional, o que implica que π também é irracional.)